Ein jingle ist ein in der Unterhaltungsindustrie geläufiger Begriff und bleibt dann wohl am besten unübersetzt.
HIER ABER scheint es nicht um einen rechtlichen Schutz für eine Tonfolge zu gehen, sondern um einen sprachlich anderen Kontext.

Ein jingle ist üblicherweise sehr kurz und sofort einprägsam. Eine akustische kurze Entsprechung von optischen Markenzeichen (Bsp. Reiseveranstalter mit 3 Buchstaben, gestaltet als fröhlicher Mund). Beethovens tatatataaa. Kurze Tonfolgen, die vor Nachrichtensendungen kommen. (Beim ZDF beginnt es mit einer Art Morse-Anklang.)

Tonfolge irgendeiner Reklame, Alltagsmelodie, 0-8-15-Song,
eine irgendwo gehörte oder aufgeschnappte Melodie,
eine allvertraute Tonfolge, etwas irgendwo Gehörtes.

Was aber einen "Refrain" hat, muss auch "Strophen" haben, also wie beispielsweise ein Schlager oder irgendein Lied. Ein ganzes Lied mit mehr als 2 Minuten Dauer ist aber kein Jingle mehr. Vielleicht eine "Erkennungsmelodie", die dann ruhig viel länger dauern darf und muss als ein Jingle.

Hier scheint es mir im Frz. aber eher darum zu gehen, dass jemand etwas "irgendwo Gehörtes", einen Teil des akustischen Alltags, auf seine Art vor sich hin summt, weil ihm sonst nichts zu singen einfällt und er doch gern irgendwas singen möchte.

"Er nimmt sich eine irgendwo gehörte Tonfolge, ob er sie nun richtig trifft oder nicht, und summt sie vor sich hin, wenn ihm sonst nichts anderes zu Singen einfällt. "

Je nach Stil der französischen Vorlage würde ich in dieser Richtung überlegen.

Il s´empare du refrain d´un jingle et le fait sien,qu´il
ait saisi correctement l´air ou pas, et le fredonne
quand il ne sait plus quoi chanter d´autre.