Ингемар, я предлагаю оставить французское написание и взять его в кавычки, так часто делают, это смотрится изысканно, и главное - соответствует английскому оригиналу.

Если это не нравится , то можно придумать еще много вариантов.
Например: "и между нами завязалось нечно вроде романа".

Ниже я привожу Вам английские синонимы этого выражения, употребляемого иногда в английском языке, хоть исконно оно и французское.
Нет одного точного перевод!
Каждый говорящий вкладываает свой собственный смысл, так что перевод зависит от общей тональности контекста. Ниже приведу несколько примеров употребления, и Вы сами это увидите.

Но для начала словарная ссылка:

affair(e), love affair, amour, romance, intrigue, fling, liaison, relationship, affaire d'amour, affaire de coeur.
Ex.: Lady Constance is having an affair with the gamekeeper.
http://nmsf.sscc.ru/Welcome.asp?vw=book&bo=3830&pg=19


--------------------------------------------------
Note added at 2003-07-10 11:25:31 (GMT)
--------------------------------------------------

Все таки советую оставить это выражение как оно есть, в латинском написании, в русском тексте, и подстрочное примечание сделать, перечислив там через запятую НЕСКОЛЬКО наиболее подходящих, с Вашей точки зрения переводов. Вам виднее, какие именно.
И пусть дальше читатель сам домысливает!

Примеры:

Твоя любовь - самое настоящее affaire de coeur.
http://visit.irk.ru/find/showuser.phtml?id=0000002450

.... многоопытные светские дамы, с которыми он имел affaires de coeurs, неизменно теряли головы, влюбляясь в него до беспамятства, ...
http://aldebaran.ru/lov/cartl/cartl2/index.shtml?anons

Моя библиотека. Уильям Мейкпис Теккерей. История Пенденниса, его удач и ...
Дело это тонкое, entre nous, une affaire de coeur.
http://libword.by.ru/Zarubeznaya/Prochaia/Tekkerej_U/Pendenn...

Лист стал идолом всей Европы, и концертные поездки тех лет неизменно сопровождались громкими и публично обсуждавшимися affaires de coeur, \"романами\".
http://www.krugosvet.ru/articles/18/1001838/1001838a1.htm

Многие его пылкие affaires de coeurs <Любовные похождения (фр.)> заканчивались так быстро потому, что он считал: какой бы прекрасной ни была женщина, ...
http://books.docs.ru/catalog.php?op=book&cid=&aid=&letter=18... - 38К

... оживленно переговариваться, и до Эмми долетели фразочки вроде \"affaire de coeur\" <Любовное приключение (франц.).>, произносимые с искренним пониманием ...
http://www.bestlibrary.ru/texts/love/fild1/5.shtml

--------------------------------------------------
Note added at 2003-07-10 11:37:58 (GMT)
--------------------------------------------------

Affaire de coeur [дела сердечные (фр.)] с протеже Жемчужницы, а потом affaire d\'honneur [дело чести (фр.)] с самой Жемчужницей, а потом еще и монокль.
http://lib.ru/INOFANT/UILIAMS_U_J/maijst1.txt


А то еще можете у Толстого посмотреть, вот как его перевели на английский. У меня нет русского текста оригинала, но я почти уверена, что там так и написано по-французски, потому это и сохранено как есть в английском переводе:

Youth by Leo Tolstoy: XXXVII AFFAIRS OF THE HEART
... As my second affaire du coeur, I, (for the third time) fell in love with Sonetchka when I saw her at her sister`s. My second passion for her had long since ...
http://www.underthesun.cc/Classics/Tolstoy/youth/youth37.htm...

Только тут есть одна тонкость, Ингемар. По-французски пишется не AFFAIRE (это англизированное написание), а AFFAIR.
Без Е на конце, понимаете?
Уверена, что Толстой писал без Е. Можете проверить. Он же писал это по-французски, а не по-английски.

Поэтому советую в переводе убрать это конечное Е и привести французское написание (извините, у меня в заголовке не так, это я просто не сразу сообразила).

Выражение это международное, и ОНО НЕ ПЕРЕВОДИТСЯ обычно, т.к. перевод урезает смысл. Вот смотрите, португальский текст, например:

--------------------------------------------------
Note added at 2003-07-10 11:40:05 (GMT)
--------------------------------------------------

... a dada altura, disse a Giscard que a polн­tica era igualmente \"un affair du coeur\". ...
http://www.portugaldospequeninos.blogspot.com/